01 背景簡介
在之前的文章“TPS54561DPRT規格書公式(35)如何推導？”、“TPS54561DPRT規格書公式(36)如何推導？”中，我們推導了TPS54561DPRT規格書中“為了滿足負載動態響應(Load Transient Response)”BUCK電路輸出端所需的電容量最小值計算公式(35)，以及“為了滿足負載動態響應(Load Transient Response)”BUCK電路輸出端所需的電容量最小值計算公式(36)，如下所示：
本文，我們將這兩篇文章合并，對比這兩個公式的推導過程，從而得出它們之間的很有意思的不同點。
在當前（2023.05）最新的TPS54561DPRT(Rev.G)版本規格書P32-33頁，原文描述：
中文翻譯：
公式35給出了所需的最小電容量，其中ΔIOUT是輸出電流的變化，ƒsw是穩壓器開關頻率，ΔVOUT是輸出電壓的允許變化。
在本例中，瞬態負載響應指定為1.25 A至3.75 A負載電流階躍導致的VOUT變化量為4%。因此，ΔIOUT 為 3.75 A - 1.25 A = 2.5 A，ΔVOUT = 0.04 × 5 = 0.2 V。
這里，在輸出電壓4% 的變化量中不考慮輸出電容的ESR產生的影響。對于陶瓷電容器，ESR通常足夠小，可以忽略不計。
但是，鋁電解電容器和鉭電容器具有更高的 ESR，必須包含在負載電流階躍計算中。
中文翻譯：
公式36用于計算將輸出電壓過沖(Overshoot)保持在設計需求值內所需要的最小電容量，其中LO是功率電感的電感量，IOH是重負載下的輸出電流，IOL是輕負載下的輸出電流，Vi是初始電壓（注：也就是重負載下的穩態電壓，等于輸出電壓Vout），Vf是峰值輸出電壓（注：是在穩態輸出電壓Vout基礎上疊加一個電壓增量）。
在本例中，最壞情況下的負載階躍為3.75 A至1.25 A，即IOH=3.75A，IOL=1.25A。在此負載轉換期間，輸出電壓增加，我們設計需求中規定的最大值為輸出電壓的4%。
這使得 Vf = Vout + ΔVout = (1+4%) × 5.0V = 5.2V。
Vi是初始電容電壓，等于標稱輸出電壓5 V，即 Vi = Vout = 5.0V，在公式36中使用這些數字可計算得到44.1 μF的最小電容。
02 公式(35)推導過程
圖1 Load Step-up
圖1所示，是進行負載動態響應測試時從“輕載”到“重載”的示意圖。我們將從“輕載”到“重載”這個過程稱為“暫態”（對應時間為?T），“暫態”之前稱為為“輕載狀態”，暫態之后稱為為“重載狀態”。
無論是“輕載狀態”還是“重載狀態”都是BUCK轉換器經過“調整”之后的“穩態”，輸出電容COUT上的平均電流為零（電荷守恒，電容不生產電荷，電容只是電荷的搬運工）。
假設“暫態”?T這段時間內輸出電壓跌落?VOUT完全由輸出電容COUT提供，那么基于輸出電容COUT上的電荷變化量，利用“電荷公式I×?T=?Q=C×?U”，可得：
?IOUT*?T=COUT*?VOUT (1)
解得，為滿足負載動態響應測試時從“輕載”到“重載”條件下輸出電壓或輸出電容上的電壓VOUT的跌落或Undershoot不超過?VOUT，所需要的輸出電容量的一般表達式，如下所示：
COUT,min = ( ?IOUT*?T ) / ?VOUT (2)
如果要求BUCK轉換器必須在2個開關周期即?T=2*Tsw=2/Fsw時間內調整完成使得輸出電壓不再繼續跌落轉而開始上升的話，那么上述公式可以重新表達如下：
COUT,min = ( 2*?IOUT ) / ( Fsw*?VOUT ) (3)
推導完畢。
這就是TPS54561DPRT規格書公式(35)的來源。
03 公式(36)推導過程
圖2 Load Step-down
圖2所示，為了滿足Load Step-down之后輸出端或輸出電容上的電壓Vout不超過設計需求中的Vout + ΔVout ，所需的輸出電容量必須要吸收功率電感上釋放的能量為
(1/2)*L*(I2)^2 – (1/2)*L*(I1)^2 (4)
這就是在Load Step-down之前和之后電感上的能量變化量。而對應的輸出電容上的能量變化量為
(1/2)*Cout*(Vout + ΔVout)^2 – (1/2)*Cout*(Vout)^2 (5)
利用電感能量變化量和電容能量變化量相等，有：
(1/2)*L*(I2)^2 – (1/2)*L*(I1)^2 = (1/2)*Cout*(Vout + ΔVout)^2 – (1/2)*Cout*(Vout)^2 (6)
消去1/2，合并多項式有：
L * [ (I2)^2 - (I1)^2 ] = Cout * [ (Vout + ΔVout)^2 - (Vout)^2 ] (7)
從而解得 ：
Cout = L * [ (I2)^2 - (I1)^2 ] / [ (Vout + ΔVout)^2 - (Vout)^2 ] (8)
將 Vi = Vout 、 Vf = Vout + ΔVout 、IOH = I2和IOL = I1代入上述公式中，得到：
Cout = L * [ (IOH)^2 - (IOL)^2 ] / [ (Vf)^2 - (Vi)^2 ] (9)
推導完畢。
這就是TPS54561DPRT規格書公式(36)的來源。
04 思考：兩個推導過程的區別？
為何公式(35)的推導，僅基于電荷公式或電容上的電荷變化量即可完成；而公式(36)的推導，需要用到能量公式，即電感上的能量公式和電容上的能量公式？
答案是，關鍵在圖中。
參考圖1 Load Step-up的過程，因為我們假設“暫態”?T這段時間內輸出電壓跌落?VOUT完全由輸出電容COUT提供，功率電感與輸出電容之間的路徑相當于是斷開的，這個過程的能量轉換是從輸出電容到負載端。因為這個轉換過程，只涉及“電容元件”，所以使用電荷公式即可。
參考圖2 Load Step-down的過程，從“重負載”到“輕負載”其實就是拋負載的過程，這個過程完成后，相當于輸出電容與負載端是斷開的，所以功率電感上的能量只能轉換到輸出電容上。因為這個轉換過程涉及“功率電感元件”和“電容元件”，不同元件之間的能量轉換，只能使用對應的能量公式，能量是守恒的。