我們在上篇文章 BUCK電路的輸出電容怎么選型？ 中通過實例分析了BUCK電路輸出電容的選型方法；有朋提出，不知道公式(37)是如何推導來的...所以，本篇我們來推導下...
本篇的主題叫做“如何推導輸出容性紋波電壓的表達式？”我另外給它加了副標題叫做“也談數學之美”，其實是呼應吳軍老師的那本書《數學之美》。
本文中，我們將分別基于數學微積分和幾何兩種方法，推導出BUCK電路輸出電容COUT紋波電壓的表達式。
基于數學微積分的方法，需要8個公式得到結果；而基于幾何的方法，只需要1個公式即可得到結果。充分體現了數學之美，嚴格意義上來說，也可以叫做幾何之美。
1. 基于微積分的方法
圖3.27 功率電感、輸出電容和負載端的紋波電流波形
參考上圖3.27，如下所示，這里我們需要提前給出BUCK電路輸出電容上的瞬時電流表達式(3.243)，下文需要對其進行積分。
(1) 輸出電容上的紋波電壓在TON導通階段取得最小值的表達式
由電容公式 I=C×dv/dt=C×?V/?T（這個公式很重要） 容易得知，在TON導通階段輸出電容COUT充放電導致的紋波電壓為
其中，假設輸出電容上的初始電壓（即 t=0 時刻的電壓）為零，即 Vc (t=0)=0 ，只考慮降壓電路的CCM穩態條件。
參考“3.3.11.1 輸出電容的瞬時電流”章節內容，將公式(3.243)中TON導通階段的電流（ i_(COUT,ON) (t) = (?I_L)/T_ON × t - (?I_L) / 2, t∈[0,T_ON ] ）代入公式(3.168)，可得輸出電容C紋波電壓分量 V_C (t) 在 t∈[0,T_ON ] 內隨時間變化的表達式如下（正文中公式只能以文本形式呈現，具體推導過程看文中帶編號的圖片公式即可）：
由于上述公式(3.169)是時間 t 的一元二次方程，所以輸出電容C紋波電壓分量是一個開口向上的拋物線形狀，該拋物線將在 t=t_min 時取得最小值，t_min 可由如下方程解得：
聯合上述公式(3.169)(3.170)兩個方程，可以解得：
所以，將(3.171)代入(3.169)，可得輸出電容C充放電引起的紋波電壓在 t∈[0,T_ON ] 這段時間內的 t_min=Ton/2 處取得的最小值如下：
這里需要說明的是，參考下文中的圖3.28，電容上的電壓滯后于電流90度，或電容電壓的相位滯后于電流相位90度，所以在紋波電流增大的過程中紋波電壓取得最小值。下文同理，在紋波電流減小的過程中紋波電壓取得最大值。
(2) 輸出電容上的紋波電壓在TOFF關斷階段取得最大值的表達式
同理，參考“3.3.11.1 輸出電容的瞬時電流”章節內容，將公式(3.243)中 TOFF 關斷階段的電流（ i_(COUT,OFF) (t')=-(?I_L)/T_OFF ×t^'+(?I_L)/2, t^'∈[T_ON,T_SW ], t^'=t-T_ON ）代入公式(3.168)，可得輸出電容C紋波電壓分量 V_C (t) 在 t^'∈[T_ON,T_SW ] 內隨時間變化的表達式如下：
利用上述公式的微分等于零，求解其取得最大值的時刻為
再將上述最大值的時刻代入公式(3.173)，可得輸出電容C充放電引起的紋波電壓在 t^'∈[T_ON,T_SW ] 這段時間內的 t_max=Toff/2 處取得的最小值如下：
以上，我們總結了時間、紋波電流和紋波電壓之間的關系。公式(3.169)和(3.173)分別是，在開關管導通和關斷時間內，輸出電容充放電引起的紋波電壓隨時間變化的關系式，(3.171)和(3.174)是對應取得最小值和最大值的時刻，公式(3.172)和(3.175)分別是對應取得的最小值和最大值。
(3) 輸出電容COUT紋波電壓分量的峰峰值
輸出端由輸出電容充放電引起的紋波電壓的峰峰值(peak-to-peak ripple voltage)是其最大值V_(C(max)) 與最小值 V_(C(min)) 之間的差，即
至此，我們基于微積分和一元二次方程的方法推導出了由輸出電容充放電引起的紋波電壓的表達式。
2. 基于幾何的方法
圖 3.28 輸出電容上的紋波電流和紋波電壓隨時間的變化關系如圖3.28所示，陰影部分的面積正是這段時間內電容上積累的電荷量 ?Q ，且容易得知該陰影三角形的底為 b=1/(2×Fsw ) ，高為 h=?IL/2 ，那么基于關系式(1.6)(?Q=C×?V)和“安秒積”可得電荷量 ?Q 如下：
進而求解 ?V 的表達式如下：
綜上可見，公式(3.176)和(3.178)具有相同的表達形式，二者等同。
3.本篇小結
至此，我們完成了基于數學微積分和幾何方法的BUCK電路輸出電容COUT紋波電壓表達式的推導。基于幾何的方法，快速推導出了輸出電容充放電引起的紋波電壓的表達式。
可見，利用電荷量作為橋梁，基于幾何的方法簡潔高效，很好地體現了數學之美，或者叫做幾何之美。
推薦閱讀：
推薦關注“電源先生”