終于到了最關(guān)鍵的環(huán)節(jié)，也是最難的環(huán)節(jié)，如何求出開關(guān)級的傳遞函數(shù)？
上期回顧：脈沖調(diào)制級傳遞函數(shù)
也就是下圖這一級。
哎，不得不說，太難了。。。
不過沒辦法，先前夸下海口，跟兄弟們說我要把環(huán)路搞清楚，現(xiàn)在搞不動也得搞啊。
這一級之所以這么難，主要是有開關(guān)元器件，本身是非線性的。
當(dāng)然了，前面第2小節(jié)我們已經(jīng)闡明了，在滿足低頻，小信號等條件下，也可以看成是線性的，這里就不再說了。
那么如何求解傳遞函數(shù)呢？
求解方法
求的方法有很多種，常見的有下面這幾種：
1、小信號模型的建模思路——基本建模法
2、狀態(tài)空間平均法
3、開關(guān)元件平均模型法
4、開關(guān)網(wǎng)絡(luò)平均模型法
上面這幾種方法在《開關(guān)變換器的建模與控制+張衛(wèi)平編著》這本書中都有非常專業(yè)詳細(xì)的講解。其實我此章也主要是看這本書進(jìn)行的一個總結(jié)。
我個人覺得最好的應(yīng)該是第4種——開關(guān)網(wǎng)絡(luò)平均模型法，或者說這是我最喜歡的方法吧，也是我深入去看的一種方法。
不過原書中的方法會畫出有變壓器的等效電路，我不喜歡引入變壓器，所以我下面介紹的過程是沒有引入變壓器的，直接推導(dǎo)出的公式。
Buck的CCM模式求解過程
求解過程主要有這么幾步：
1、二端口等效
2、端口參數(shù)關(guān)系，推導(dǎo)出兩個式子
3、代入電路，結(jié)合原理推導(dǎo)出傳遞函數(shù)
二端口等效
先來看二端口等效是怎么回事，下面是buck的拓?fù)洹?/span>
最難搞的就是里面這個MOS管和二極管了，那咋整呢？
干脆就把它看作一個整體，對外有四根線，同時底下兩根線接地，所以也就是說有兩個端口，是一個二端口網(wǎng)絡(luò)。
那么電路變成下面這樣的了
按照上圖一等效，好像也沒什么卵用，反而更加不熟悉了。先不著急
我們需要先對i1(t)，i2(t)，v1(t)，v2(t)取開關(guān)周期的平均值，注意，是開關(guān)周期平均值，而不是總時間平均值。因為如果是總時間的平均值，那就只是直流等效了。
這里多一嘴，說說開關(guān)周期平均值和總時間平均值有什么差別，因為我在這里想了比較久，并且看起來兩個值好像是一樣的。
確實，如果是穩(wěn)態(tài)，沒有干擾信號，負(fù)載恒定，上述變量在每一個開關(guān)周期內(nèi)的平均值都是一樣的，并且等于總時間的平均值。
但是如果有干擾信號，那么可能上一個周期的平均值跟下一個周期的平均值不一樣，也就是它是時間的函數(shù)。我們現(xiàn)在分析傳遞函數(shù)，就是分析干擾信號的影響，自然不能只看直流等效了，所以求的是開關(guān)周期的平均值。
那問題來了？求開關(guān)周期的平均值合理嗎？
其實這里就有用到前面所說的線性化條件——低頻信號假設(shè)，我們研究的信號大大低于開關(guān)頻率，因此求開關(guān)周期的平均值是合理的。
取的周期平均值我們用新符號表示，分別為：I1(t)，I2(t)，V1(t)，V2(t)，它們都是時間的函數(shù)。那么電路就變成了下面這樣：
現(xiàn)在我們需要分析下我們引入二端口的4參數(shù)I1(t)，I2(t)，V1(t)，V2(t)，他們之間到底有啥恩怨情仇？
端口參數(shù)關(guān)系，推導(dǎo)出兩個式子
假如沒有任何干擾信號，那么I1(t)，I2(t)，V1(t)，V2(t)周期平均值和全時間的平均值是一樣的，每個周期都一樣，每個周期的平均值自然和全部時間內(nèi)的平均值一樣，這應(yīng)該沒毛病。
好，我們假設(shè)沒有干擾信號時，平均值分別是I1，I2，V1，V2，它們是個常量。此時開關(guān)信號的占空比也是恒定的，我們用D表示。
現(xiàn)在我們將干擾信號加進(jìn)去，我們知道，系統(tǒng)只有滿足小信號條件的時候，才能將之近似看成線性系統(tǒng)。
既然干擾信號是小信號，那么這個干擾信號會引起I1(t)，I2(t)，V1(t)，V2(t)隨時間小范圍變化，它們分別以I1，I2，V1，V2為中心進(jìn)行波動，同理，占空比也會圍繞D為中心進(jìn)行波動。
各變量的波動量不就是交流小信號嗎？
我們分別用符號△I1(t)，△I2(t)，△V1(t)，△V2(t)，△D(t)來表示。
那么我們可以用下面的表達(dá)式進(jìn)行表示：
式子已經(jīng)列出來了，現(xiàn)在我們需要求他們之間的關(guān)系。
先看看V2(t)的物理意義，前面說了，它是開關(guān)周期內(nèi)的平均值。
顯然，V2(t)=V1(t)*D(t)，為什么呢？
因為在MOS不導(dǎo)通的時候，那么二極管導(dǎo)通，v2(t)為0，而在MOS導(dǎo)通的時候，v2(t)等于v1(t)。
所以，v2(t)在周期內(nèi)的平均值V2(t)就等于導(dǎo)通時間的百分占比乘以V1(t)，即：
同樣的，I1(t)= I2(t)*D(t)，那又是為什么呢？
因為MOS在不導(dǎo)通的時候，i1(t)為0，而在MOS管導(dǎo)通的時候，i1(t)等于i2(t)，所以，i1(t)在周期內(nèi)的平均值I1(t) 就等于導(dǎo)通時間的百分占比乘以I2(t)，即：
易知，上面兩個式子，無論是在穩(wěn)態(tài)（沒有干擾），還是在有干擾的情況下，都是成立的。
小信號求解
我們把前面得到的幾個式子代換一下，就可以得到小信號的表達(dá)式。
上面的式子可能看著有點復(fù)雜，其實簡單代換就出來了，最終我們得到了下面這兩個式子：
式子中忽略了高階微小量，為什么可以忽略呢？
我是這么理解的，本來這些帶△的量就是小信號，意思是圍繞一個中心值小范圍波動，所以帶△符號的量相對于不帶△符號的量是很小的。那么兩個都帶△符號的量相乘，乘積就更小了，所以干脆把它忽略掉了。
對于BUCK來說，只需要第一個式子就可以求出傳遞函數(shù)了，也就是下面這個
寫的有點長，我們回顧下我們最終的目的，我們的目的是要求出Gvd，也就是△Vo/△D的值，上面式子中，我們已經(jīng)能知道△V2與△D的關(guān)系，那△V2與△Vo是什么關(guān)系呢？
回到我們Buck的拓?fù)?/strong>
V1(t)不就是輸入信號Vi嗎？
理想情況下，Vi就是恒定的，占空比變化也不會導(dǎo)致Vi發(fā)生變化（不要考慮輸入的開關(guān)紋波，我們現(xiàn)在分析的是理想拓?fù)洌斎腚娫礊槔硐腚娫矗妷壕褪呛愣ǖ模?/span>
既然Vi恒定，那么V1(t)就恒定不變，那么前面說的V1(t)的變化量△V1(t)=0。所以上面的那個式子可以再次化簡下，如下：
另一方面，△V2指的是在占空比發(fā)生變化時，在電感前面引起的電壓的變化量。
我們知道了△V2，那么△Vo不就是后面電感L，電容C，負(fù)載R對△V2的分壓嗎？那么就有了：
再結(jié)合前面得到的式子△V2=△D*Vi，我們就求得了最終的傳遞函數(shù)：
到此，我們就求出了buck的開關(guān)變換器的傳遞函數(shù)Gvd(s)。
寫到這里，我估計會有兄弟說：搞了一堆，我肉眼都能看出在電感之前的信號表達(dá)式△V2=△D*Vi，再把它后面的電感L，C，R看成是低通濾波器，1分鐘就能推出傳遞函數(shù)了。
確實如此，有點復(fù)雜，不過我上面的推導(dǎo)是普遍適用的法子，我拿BUCK來舉例其實不好。如果拿boost就比較好，因為boost肉眼看不出來，但用上面的法子就可以推導(dǎo)出來。
那下面就再看看Boost
Boost的CCM模式傳遞函數(shù)推導(dǎo)過程
有了前面的鋪墊，Boost我就寫簡單點，其實最關(guān)鍵的還是那個MOS和二極管，我們的過程依然是下面幾步。
1、二端口等效
2、端口參數(shù)關(guān)系，推導(dǎo)出兩個式子
3、代入電路，結(jié)合原理推導(dǎo)出傳遞函數(shù)
二端口等效
二端口等效如下：
端口參數(shù)關(guān)系，推導(dǎo)出兩個式子
I1(t)，I2(t)，V1(t)，V2(t)為周期平均值，假如沒有任何干擾信號，它們和全時間的平均值是一樣的，每個周期都一樣，每個周期的平均值自然和全部時間內(nèi)的平均值一樣，這應(yīng)該沒毛病。
好，我們假設(shè)沒有干擾信號時，平均值分別是I1，I2，V1，V2，它們是個常量。此時開關(guān)信號的占空比也是恒定的，我們用D表示。
現(xiàn)在我們將干擾信號加進(jìn)去，我們知道，系統(tǒng)只有滿足小信號條件的時候，才能將之近似看成線性系統(tǒng)。
既然干擾信號是小信號，那么這個干擾信號只會引起I1(t)，I2(t)，V1(t)，V2(t)隨時間小范圍變化，它們分別以I1，I2，V1，V2為中心進(jìn)行波動，同理，占空比也會圍繞D為中心進(jìn)行波動。
各變量的波動量不就是交流小信號嗎？
我們分別用符號△I1(t)，△I2(t)，△V1(t)，△V2(t)，△D(t)來表示。
式子已經(jīng)列出來了，現(xiàn)在我們需要求他們之間的關(guān)系。
先看看V1(t)的物理意義，它是周期內(nèi)的平均值。
顯然，V1(t)=V2(t)*(1-D(t))，為什么呢？
因為在MOS不導(dǎo)通的時候，二極管（看成理想二極管）導(dǎo)通，v1(t)為v2(t)，而在MOS導(dǎo)通的時候，v1(t)接GND，為0，所以，v1(t)在周期內(nèi)的平均值V1(t)就等于不導(dǎo)通時間的百分占比乘以V2(t)，即：
同樣的，I2(t)= I1(t)* (1-D(t))，那又是為什么呢？
因為MOS在不導(dǎo)通的時候，i2(t)等于i1(t)，而在MOS管導(dǎo)通的時候，i2(t)等于0，所以，i2(t)在周期內(nèi)的平均值I2(t) 就等于不導(dǎo)通時間的百分占比乘以i1(t)，即：
從推導(dǎo)過程看，上面兩個式子，無論是在穩(wěn)態(tài)（沒有干擾），還是在有干擾的情況下，都是成立的。
小信號求解
我們把前面得到的幾個式子代換一下，就可以得到小信號的表達(dá)式。
忽略高階小項，得到下面兩個小信號的式子：
回想我們的目的，我們要得到傳遞函數(shù)，也就是需要知道△Vo與△D的比值關(guān)系。當(dāng)然，我們會有一些量是已知的，比如輸入Vi，占空比D，還有電感L，負(fù)載阻抗R，負(fù)載濾波電容C，這些都是已知量。
回到Boost的拓?fù)?/strong>
從上面我們能得到什么式子呢?
首先，在輸入端，對于交流小信號來說，輸入直流Vi相當(dāng)于是短路，那么電感左邊相當(dāng)于接地，根據(jù)復(fù)阻抗的歐姆定律，那么電感兩端壓降就是：sL*△I1(t)，也等于-△V1(t)，負(fù)號表示方向。
其次，在輸出端，對于交流小信號來說，電壓△Vo=△V2，同時，根據(jù)復(fù)阻抗的歐姆定律，電壓等于電流乘以阻抗，即：
然后，V1為直流分量，因此有V1=Vi；
V2也為直流分量，因此有V2=Vo，I2=Vo/R
并且在小信號求解時，我們已經(jīng)推出了兩個公式：
V1=(1-D)*V2；
I2=(1-D)*I1
我們把上述所有公式匯總，消除中間量，就可以求出傳遞函數(shù)了，如下圖：
以上就是boost求解傳遞函數(shù)的過程，看著是非常費勁，其實要是想通了就不難。
小結(jié)
很是費了一番功夫，最終求出了buck和boost的傳遞函數(shù)Gvd(s)。
我使用的方法其實就是《開關(guān)變換器的建模與控制+張衛(wèi)平編著》里面的開關(guān)網(wǎng)絡(luò)平均值法，不過我結(jié)合自己的喜好，改造了下，沒有用變壓器等效，盡量用通俗的語言，一步一步推出公式來。
當(dāng)然，我這么玩不太嚴(yán)謹(jǐn)，如果想要深入了解的兄弟，建議去看下這本書，里面有很多建模方法，非常的專業(yè)。
但是不好的地方就是也比較難懂，我來來回回看了好久，終于有些許領(lǐng)悟，能做到扔掉書本，自己推出buck和boost的開關(guān)變換器的傳遞函數(shù)了，過程就是上面寫的了。
以上內(nèi)容其實在工作中是用不到的，各種拓?fù)涞膫鬟f函數(shù)其實早已被前人給推導(dǎo)出來了，我們直接用就好。不過，人總有一些好奇心，會問個為什么，如果知道過程，那自然也是極好的。