狀態(tài)空間平均法在開關電源功率級建模中應用非常廣泛，但是狀態(tài)空間法一般都涉及到大量的矩陣運算，手動運算即麻煩又容易出錯，但在Mathcad中使用矩陣的符號運算功能，能輕松的完成這些復雜的計算，下面就以一個例子來介紹。

狀態(tài)空間平均法是用矩陣的方式描述開關電源系統(tǒng)，然后根據(jù)小信號近似和線性化等效的原則進行簡化，進行矩陣運算，得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的一種方法。

這種方法的優(yōu)點是：建模的思路清晰，不需要做復雜的電路變換；通用性強，對于PWM控制的電路拓普都適用。

缺點：手動運算非常繁雜，容易出錯。

對于線性定常系統(tǒng)來說，通?？梢杂孟旅嬉唤M方程來描述：

其中X為狀態(tài)向量，一般選擇在開關切換時不會突變的物理量，如儲能元件的電流或電壓。在這里選擇電感電流iL和電容電壓uc。

U為輸入向量，一般會選擇輸入電壓vg

Y為輸出向量，選擇輸入電流ig和輸出電壓vout。

然后進行進行小信號近似和線性等效，具體過程不再詳述，可以自行在網(wǎng)上查找。

boost非理想電路

當開關管導通時，可以得到下列一組方程：

用Mathcad符號求解的命令solve解方程組，可得：

再化簡成標準形式：

得到diL/dt和duC/dt的值：

再看boost的原理圖，還可以得到另外一組方程：

所以可以得到一組A1、B1、C1和E1的矩陣：

當開關管關斷時，再得到下面的方程：

求出一組矩陣

再根據(jù)公式可得：

求得狀態(tài)向量直流工作點函數(shù)關系（vg為輸入電壓的直流分量，D為占空比的直流分量）：

如果忽略電感和電容的等效串聯(lián)電阻可得到：

求得輸出向量直流工作點函數(shù)關系（Ig為輸入電流的直流分量，Vout為輸出電壓的直流分量）：

如果忽略電感和電容的等效串聯(lián)電阻可得到：

從上面的結(jié)果中，可以很方便的得到電感電流IL、電容電壓Uc、輸入電流Ig和輸出電壓Vout分別與輸入電壓Vg的直流量關系。

分析上面的結(jié)果可知：對于直流量來說，電感電流IL等于輸入電流Ig*D，電容電壓uc等于輸出電壓Vout。

經(jīng)過線性化等效后，有（x為X向量的小信號交流分量，y為Y向量的交流分量）：

可以得到boost功率級參數(shù)對輸入電壓vg(s)的傳遞函數(shù)：

因為結(jié)果過長，無法完整展示出來，只能顯示一部分。忽略電感和電容的等效串聯(lián)電阻，并用D=1-D`替代后，得到：

vout(s)/vg(s)即輸入電壓對輸出電壓的影響，例如輸出電壓的低頻紋波主要由該傳函決定。

ig(s)/vg(s)的倒數(shù)即為boost的輸入阻抗。

再求得boost功率級參數(shù)對占空比d(s)的傳遞函數(shù)：

簡化后，得到結(jié)果：

iL(s)/d(s)在做電流型控制時經(jīng)常會用到。

vout(s)/d(s)在做電壓型控制時經(jīng)常會用到。

到此，幾乎得到所有功率級的傳遞函數(shù)，配合不同的控制方式，可以得到系統(tǒng)的整體的傳遞函數(shù)，來進行環(huán)路的設計工作。

本文涉及的計算文件，在附件中提供。文件用Mathcad Prime 8.0編寫。