相機中的透視投影幾何——討論相機中的正交投影，弱透視投影以及透視的一些性質

徐土豆 2022-06-13 15:10 359 閱讀 0 贊 2 收藏 0 評論

本文轉自徐飛翔的“相機中的透視投影幾何——討論相機中的正交投影，弱透視投影以及透視的一些性質”

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相機的針孔模型我們曾經在[1]中討論過關于相機的針孔模型的話題，這里我們要再次提起下這個模型。針孔模型(pinhole model) 是最簡單的可以成像的“設備”，然而其可以精確地得到透視投影(Perspective Projection) 的幾何信息，這里所說的透視投影，定義為：

將三維物體的信息映射到二維平面上，稱之為透視投影。( Such a mapping from three dimensions onto two dimensions is called perspective projection. )

Fig 1.1 相機的針孔模型及其透視投影成像。

在針孔模型中，光線通過一個無限小的孔，并且在成像平面上呈現出倒像。呈現出倒像不方便我們的分析，因此我們在分析時通常假設成像平面在焦點之前，距離同樣也是焦距（未歸一化之前，歸一化之后距離就是1了，稱之為歸一化坐標系）。

透視投影的方程我們需要用代數方式描述透視投影中的比例關系，如圖Fig 2.1所示，根據相似三角形的知識，我們有：

其中的 $OB^{\prime} = f$ 是焦距。

聯合公式(2.1)和(2.2)，我們有透視投影公式：

Fig 2.1 透視投影示意圖。

用矩陣形式表達就是：

透視投影的若干性質

多對一映射，在透視投影中，已知了投影點 $A^{\prime}$ 之后，其實體點A并不是唯一的，而是存在于過焦點連線 $OA^{\prime}$ 上的任意一點都有可能(不過要在 $A^{\prime}$ 之后呢，所以應該是在 $OA^{\prime}$ 的延長射線上。)

放縮和投影縮放。

當一個平面或者一條直線平行于成像平面時，透視投影的影響其實就是對這個平面/直線進行了縮放(scaling)。
當一個平面或者直線不平行于成像平面時，透視投影的會產生非線性的投影扭曲(projective distortion)，可以將其分解成平行于成像平面的分量的縮放。

Fig 2.2 尺度縮放和投影縮放。

焦距的若干影響如圖Fig 2.3 所示，不同焦距有著不同的影響，注意到 $AB = A^{\prime}B^{\prime}$ ，我們發現，焦距越小，其視角越大，屬于廣角攝像頭(wide-angle camera)；焦距越大，其視角越小，但是分辨率會提高，屬于望遠鏡攝像頭(more telescopic)。

Fig 2.3 不同焦距的影響。

在透視投影中，在投影過程中，實際的平行關系通常不能保留下來，實際上，透視投影保留不了角度，距離等大部分的幾何關系，但是保留了直線的“直”的這個屬性。[2]

正交透視投影和弱透視投影注意到透視投影一般來說是非線性的，其不保留原始元素的大部分幾何屬性，比如平行，角度等，為了分析方便，我們假設當焦距無限大時，我們在成像平面上會存在一個所謂的正交投影，這個正交投影可以保留平行關系。其每個投影線都是平行的。這個稱之為正交投影(orthographic projection)。