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1.    期望

期望也就是平均值，是一個數值，反應的是隨機變量平均取值的情況，期望也叫做加權平均，在信號中代表直流分量。

當隨機變量X滿足均勻分布時，對一段長度為N的離散序列X=x[n]，n=0,1,2….N-1,其期望E(X)計算過程為：

舉例子：對于長度為10的離散型隨機變量X=sin(t)，取一個周期，求數學期望E(X).

這就是求正弦信號在一個周期內的均值。

2.    有效值(均方根值RMS，root-mean-square）

有效值也是也個數值，又叫均方根，我們以X=Asin(t)這個信號為例。最大值Vmax=A，峰峰值Vpp=2A，假設此電壓信號作用于一個電阻為1Ω的負載，根據焦耳定律：

對于一個周期的正弦信號X=Asin(t)而言，我們計算它在一個周期2π的時間內產生的熱量，還要對時間進行積分，即：

假設在相同時間2π內，有一等效直流電壓Y作用于R=1Ω的電阻，其產生的熱量:

所謂有效值，指的是此直流電壓Y產生的熱量等效于交流電Asin(t)產生的熱量，二者效果一樣，所有叫有效值。

取Q2=Q，

推廣上面的計算過程，對于離散序列，可以得到均方根一般計算公式：

3.    均方值

RMS的平方就是均方值MS(mean-square value)，意思是均方根值的開方。

4.    方差

方差是一個具體的數，符號為，

衡量的是各數據偏離平均值的大小，是偏離值平方的平均值(有點拗口)。

方差越小，數據越集中，偏離程度越高；

方差越大，數據越分散，偏離程度越低；

對于一段長度為N的離散序列X[n]，其平均值(期望)為E，則方差（相當于平均功率）：

有的同學看到方差的另一種計算公式：

為什么分母有N-1和N的區別呢？

N-1對應的是無偏估計；N對應有偏估計，其方差<=真值方差。matlab函數var默認使用的是N-1的無偏估計計算方法。

使用無偏估計，對正弦信號X = sin(t)求方差，結果為0.5556；

使用有偏估計，求的方差為0.5

5.標準差(Standard Deviation)、均方差

標準差是把方差取根號得到的。

因為方差與處理的數據的量綱有差異，所以有時我們用標準差來描述數據偏離程度。

6.    均方誤差，MSE（Mean Squared Error)

和方差很像，區別在于MSE關注的是預測數據與真實值的偏離程度。

方差是數據與均值的偏離程度。

f表示預測值，y表示真實值。

7.    均方根誤差RMSE

8.    協方差Cov

協方差表示兩個變量之間有關系，定義式為:

Cov(X,Y) = E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

上面的計算過程比較麻煩，有更簡單的計算公式：

Cov(X,Y) = E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E(XY) - E(X)E(Y)

強調一點：事件X、Y相互獨立，則Cov(X,Y)=0；

反之，Cov(X,Y)=0，X、Y不一定相互獨立。

舉例子，對于X=sin(t)和Y=0.5+0.5sin(t)兩個離散序列。求其協方差：

為0.25，如果直接調用matlab函數計算：cov(X,Y)結果是0.2778

因為matlab使用的是無偏計算公式，前文有介紹，此處不多講。

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9.相關系數

協方差只表示兩個事件有關系，數值可以大于1也可以小于1，怎么評估具體關系程度呢？引入相關系數概念，matlab函數為：corr或corrcoef

|ρ|≤1；

        ρ=±1，表示兩個變量線性相關

        ρ=0，表示兩個變量無關

        ρ=other，表示兩個變量有些關系

相關系數計算公式如下，各參數前文一一介紹過：

我們計算離散信號X=sin(t)和Y=0.5+0.5*sin(t)相關系數;

得到相關系數為1，說明二者完全線性相關，即：Y=0.5+0.5X。

如果使用matlab自帶函數求解，結果是一樣的。

如果把Y換為Y=0.5*sin(t+0.5)，則求解到的相關系數為0.8776，說明二者非常接近線性相關。

10.    自相關函數

顧名思義，這是一個函數，上面介紹那些參數指標都是具體的數值，從現在開始是介紹函數。下面是自相關函數的求解公式。描述的是同一個信號在不同時刻的相關程度，matlab公式為xcorr。

有什么作用呢?比如你有一個帶噪的信號Y，其中既有有用的信號X，也有噪聲N，噪聲太強烈，信噪比很低淹沒了正弦信號，就可以用自相關函數提取出X的信息。

Y=X+N=sin(t)+noise(t)，

下圖第一行為原始帶噪的信號，我們完全區分不出來其中的正弦信號；

第二行為求解得到的自相關函數；第三行為隱藏在噪聲中的sin(t)信號，可以看出求解自相關函數后，可以得到一個比較干凈的信號，其頻率和目標信號sin(t)頻率一樣。

11.    互相關函數

把自相關函數計算過程稍微變化，則得到求解互相關函數的計算公式：

matlab函數為[a,b]=xcorr(X,Y,'unbiased');

求互相關的過程和卷積灰常灰常像，所以求卷積的過程也可以認為是求相關。