上一篇我們對(duì)LLC的模型進(jìn)行分析和等效模型的建立，本文將根據(jù)模型中的電氣特性，分析LLC如何工作使得輸出穩(wěn)定的？穩(wěn)定的輸出是由哪些量決定的？這些量之間又存在哪些關(guān)系呢？

在了解上述問題之前，我們先要分析一下電氣變量的關(guān)系。【接上一篇文章】

在輸入側(cè)，方波電壓（Vsq）的基波電壓為：

它的RMS為：

在輸出端，由于 Vso 近似為方波，因此基波電壓為：

其中 φV 是 Voe 和 Vge 之間的相位角，RMS 輸出電壓為：

對(duì)應(yīng)于 Voe 和 Ioe 的電流的基波分量是：

其中 φi 是 ioe 和 voe 之間的相位角，RMS 輸出電流為：

那么交流等效負(fù)載電阻 Re 可以計(jì)算為：

由于圖 1b 中的電路是單頻正弦交流電路，因此可以按照與所有正弦電路相同的方式進(jìn)行計(jì)算。 角頻率為：

化簡(jiǎn)得到：

Cr、Lr 和 Lm 的容抗和感抗分別為：

勵(lì)磁電流有效值為：

串聯(lián)諧振電路中的循環(huán)電流為：

建立電氣變量的關(guān)系后，下一步是進(jìn)行電壓增益函數(shù)推導(dǎo)。

自然，輸入電壓和輸出電壓之間的關(guān)系可以用它們的比率或增益來描述：

如前所述，將直流輸入電壓和輸出電壓轉(zhuǎn)換為開關(guān)模式，然后等式（15）可以近似為雙極方波電壓（Vso）與單極方波電壓（Vsq）之比：

交流電壓比 Mg_AC 可以通過使用基本分量 Vge 和 Voe 分別代替方程（16）中的 Vsq 和 Vso 來近似：

為簡(jiǎn)化符號(hào)，此處將使用 Mg 代替 Mg_AC。 從圖 1b 中，Voe 和 Vge 之間的關(guān)系可以用電參數(shù) Lr、Lm、Cr 和 Re 來表示。 然后輸入到輸出電壓增益或電壓傳遞函數(shù)變?yōu)椋?/p>

等式 (18) 描述了從輸入電壓 (Vin) 到輸出電壓 (Vo) 的連接，該連接與具有 LLC 電路參數(shù)的 Mg 相關(guān)。 雖然這個(gè)表達(dá)式只是近似正確，但實(shí)際上它足夠接近串聯(lián)諧振附近。 接受近似為準(zhǔn)確允許方程（19）寫成：

換句話說，可以在知道 Mg、n 和 Vin 之后確定輸出電壓。

電壓增益函數(shù)的歸一化格式

等式 (18) 描述的電壓增益函數(shù)以具有絕對(duì)值的格式表示。 很難對(duì)這種格式的設(shè)計(jì)問題進(jìn)行一般性描述。 最好用規(guī)范化的格式來表達(dá)。 為此，可以選擇串聯(lián)諧振頻率 (f0) 作為歸一化的基礎(chǔ)。 然后歸一化頻率表示為：

此外，為了將兩個(gè)電感合二為一，電感比可以定義為：

串聯(lián)諧振電路的品質(zhì)因數(shù)定義為：

請(qǐng)注意，fn、Ln 和 Qe 是無單位變量。

在這些定義的幫助下，電壓增益函數(shù)可以被歸一化并表示為：

輸入和輸出電壓之間的關(guān)系也可以從等式（23）獲得：

電壓增益函數(shù)的特性

等式 (23) 表示的電壓增益函數(shù)和圖 1b 中的電路模型構(gòu)成了本主題所述設(shè)計(jì)方法的基礎(chǔ)； 因此，有必要了解 Mg 如何作為三個(gè)因素 fn、Ln 和 Qe 的函數(shù)。 在增益函數(shù)中，頻率 fn 是控制變量。 Ln 和 Qe 是虛擬變量，因?yàn)樗鼈冊(cè)诖_定物理參數(shù)后就固定了。 設(shè)計(jì)完成后，通過 fn 調(diào)整 Mg。 因此，解釋增益函數(shù)如何表現(xiàn)的一個(gè)好方法是在給定條件下從 Ln 和 Qe 的值族中繪制 Mg 與 fn 的關(guān)系圖。

圖 2. 具有不同 Ln 值的電壓增益函數(shù) (Mg) 圖。

圖1a到1d說明了幾種可能的關(guān)系。 每個(gè)圖都由一個(gè)固定的 Ln 值（Ln = 1、5、10 或 20）定義，并針對(duì)變量 Qe 顯示具有九個(gè)值（從 0.1 到 10）的曲線族。 從這些圖中，可以得出幾個(gè)觀察結(jié)果。

Mg的值不小于零。 這是顯而易見的，因?yàn)?Mg 來自模數(shù)運(yùn)算符，它描述了一個(gè)包含實(shí)數(shù)和虛數(shù)的復(fù)雜表達(dá)式。 這些數(shù)字代表幅度和相位角，但在這種情況下只有幅度有用。

在給定的 Ln 和 Qe 內(nèi)，Mg 在電路諧振頻率附近呈現(xiàn)凸曲線形狀。 這是一條典型曲線，顯示了諧振轉(zhuǎn)換器的增益形狀。 對(duì)應(yīng)于諧振峰值（fn_c0，或 fsw = fc0）的歸一化頻率隨著負(fù)載的變化而移動(dòng)，因此對(duì)于給定的 Ln，也隨著 Qe 的變化而移動(dòng)。

改變 Ln 和 Qe 將重塑 Mg 曲線并使其與 fn 不同。 由于 Qe 是由方程 (9) 和 (22) 描述的負(fù)載函數(shù)，因此 Mg 呈現(xiàn)了一系列將頻率調(diào)制與負(fù)載變化相關(guān)聯(lián)的曲線。

無論使用 Ln 和 Qe 的哪種組合，所有曲線都會(huì)收斂并通過 (fn, Mg) = (1, 1) 點(diǎn)。 該點(diǎn)位于 fn = 1 處，或來自公式 (20) 的 fsw = f0。 根據(jù)串聯(lián)諧振的定義，在 f0 處 XLr– XCr = 0。 換句話說，Lr 和 Cr 兩端的壓降為零，因此輸入電壓直接施加到輸出負(fù)載，從而導(dǎo)致單位電壓增益 Mg = 1。

請(qǐng)注意，工作點(diǎn) (fn, Mg) = (1, 1) 與負(fù)載無關(guān)； 即，只要增益 (Mg) 可以保持一致，無論負(fù)載電流是多少，開關(guān)頻率都將處于串聯(lián)諧振頻率 (f0)。 換句話說，在工作點(diǎn)位于 (fn, Mg) = (1, 1) 或其附近的設(shè)計(jì)中，頻率變化被縮小到最小。 在 (fn, Mg) = (1, 1) 處，假設(shè)沒有寄生功率損耗，串聯(lián)諧振電路的阻抗為零。 然后，無論負(fù)載電流變化多少，整個(gè)輸入電壓都會(huì)施加到輸出負(fù)載。 然而，遠(yuǎn)離(fn, Mg) = (1, 1)，串聯(lián)諧振電路的阻抗變?yōu)榉橇悖妷涸鲆骐S著負(fù)載阻抗的不同而變化，相應(yīng)的操作變得依賴于負(fù)載。

對(duì)于固定的 Ln，增加 Qe 會(huì)縮小曲線，導(dǎo)致頻率控制帶變窄，這是預(yù)期的，因?yàn)?Qe 是串聯(lián)諧振電路的品質(zhì)因數(shù)。 此外，隨著整條曲線向下移動(dòng)，Mg的對(duì)應(yīng)峰值變小，對(duì)應(yīng)于該值的fn向右移動(dòng)并接近fn=1。這種隨著Qe增加的頻移是由于負(fù)載增加。 回顧方程 (9) 和 (22) 很明顯Qe 的增加可能來自 RL 的減少，因?yàn)?Lm 和 Lr 都是固定的。 對(duì)于相同的串聯(lián)諧振頻率，Cr 也是固定的。 RL 與 Lm 平行，因此減少 RL 將減少 Lm 的影響并將 fc0 移向 f0。 作為一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，檢查兩個(gè)極端是有幫助的：

1、如果 RL 開路，則 Qe = 0，并且 fc0 = fp，如等式 (2) 所述。 fc0 位于 f0 的最左邊，對(duì)應(yīng)的增益峰值非常高，理論上可以無限大。

2、如果 RL 短路，則 Qe = ∞ 并且 Lm 被完全旁路或短路，使得 Lm 對(duì)增益的影響消失。 然后來自 Lm 效應(yīng)的相應(yīng)峰值增益值變?yōu)榱悖⑶?fc0 一直向右移動(dòng)，與 f0 重疊。

3、因此，如果 RL 從無窮大變?yōu)榱悖瑒t諧振峰值增益從無窮大變?yōu)?1，峰值諧振處的相應(yīng)頻率 (fc0) 從 fp 移動(dòng)到串聯(lián)諧振頻率 (f0)。

對(duì)于固定的 Qe，Ln 的減小會(huì)縮小曲線； 整個(gè)曲線被擠壓，fc0 向 f0 移動(dòng)。 這導(dǎo)致更好的頻率控制帶具有更高的峰值增益。 有兩個(gè)原因。 首先，當(dāng) Ln 由于 Lm 減小而減小時(shí)，fp 越來越接近 f0，從而擠壓了從 fp 到 f0 的曲線。 其次，降低的 Ln 會(huì)增加 Lr，從而導(dǎo)致更高的 Qe。 如上所述，較高的 Qe 會(huì)縮小曲線。

乍一看，Ln 和 Qe 的任何組合似乎都適用于轉(zhuǎn)換器設(shè)計(jì)，并且可以在 fn = 1 的任一側(cè)運(yùn)行 fn 來進(jìn)行設(shè)計(jì)。但是，下一篇文章會(huì)講述LLC在設(shè)計(jì)時(shí)的更多考慮！