首先給出問題：如何求解等式sin(x)=k*x并找出x與k的關系？

                                     圖1 正弦曲線與斜線相交求解

  在硬開關電路中近似可用代數式來表述其運行規律所以較容易分析，而軟開關電路由于含有正弦波（諧振）分析起來就不那么簡單或者說較難找出解析解，一般都是采用仿真、迭代等耗時的方法進行分析。

  以LLC電路為例其直流增益曲線多是按基波分析法（FHA）來設計誤差較大，如果采用仿真法雖然誤差小但耗時久并且手算幾無可能。曾另辟蹊徑利用圖形拼接的方法來分析LLC電路最終結果是可行的但運算速度受上述公式影響，如果能解決上述三角超越函數的求解問題那么就有可能找出一種較簡單的軟開關電路分析方法。

  由于三角函數本身就是超越函數（超越函數(Transcendental Functions)，指的是變量之間的關系不能用有限次加、減、乘、除、乘方、開方運算表示的函數）首先想到用泰勒級數展開后再進行代數運算。

    （三角函數泰勒級數展開）

  工程應用允許有一定的誤差考慮運算速度及成本等因素這里取有限次運算，不同級數展開的波形如下：

                                      圖2不同泰勒級數展開波形

  觀察上圖2當m≥3時其前1/4周期可近似為正弦波，只需選取這1/4周期再通過平移翻轉就可以構成完整的正弦波曲線。當M=3時的表達式為：

  與標準正弦波的偏差比如下：

                         圖3 泰勒級數m=3時與標準正弦波的偏差比

  根據上述公式可以用硬件電路實現三角波——正弦波轉換電路，見下圖：

                                    圖4-1 三角波轉正弦波電路

                                 圖4-2 三角波轉正弦波仿真波形

  當按預設的問題sin(x)=k*x進行計算時又遇到了新問題，

  一元四次方程比較難求解（預設問題曲線剛好過零點，如果非過零點就需解一元五次方程，并且沒有代數解），為簡化計算又采用擬合的方法獲取前1/4周期波形方程并將方程控制在一元三次以內，新的擬合公式為：

  y=-0.113*x^3-0.0067*x^2+1.022*x-0.00046958

  下圖分別繪制了前1/4周期和1/4~2/4周期的波形及與標準正弦波的對比：

                      圖5 擬合法獲得的曲線及偏差對比

  如圖5所示采用擬合曲線的方法只在近零處偏差略大對目前的應用影響不大。

  求解過程分為兩段y(x)=k*x及y(pi-x)=k*x，前一段近似d=0后方程變為一元二次方程，求解如下：

  后一段利用盛金公式求解，并綜合前一段獲得整個1/2周期的求解公式。

  上面的公式就為x與k的關系式，最后再對比一下擬合法與標準解的差異：

                             圖6 擬合法獲得的解析式與標準波形對比

  在誤差允許的范圍內通過擬合法獲得的解析式可以大大提高運算速度尤其是此公式需要被反復調用的場合其優勢更明顯。