寫這篇文章的目的是對于最近學習電路環路穩定分析的一個總結，也是個人對于環路知識的重新梳理和分析，寫的地方肯定有錯誤以及遺漏，大家如果發現其中的問題，希望大家能夠發出來一起討論，大家一起學習。

在具體的電路分析之前，先來說一些在后續具體的電路分析中會用到的知識點

1、傳遞函數

傳遞函數是指零初始條件下線性系統響應（即輸出）量的拉普拉斯變換（或z變換）與激勵（即輸入）量的拉普拉斯變換之比。本來是想將傳遞函數的定義講一遍的，但是發現這樣的話需要講傅里葉變換和拉普拉斯變換了，這兩個東西沒個幾千字講不清楚的，而且考慮到這篇文章的重點還是實際電路分析技巧，所以大家如果對拉普拉斯變換不懂的話，去看看大學里學習的《電路》或者《電路分析》這本書。所以接下，就簡單的描述一下。

拉普拉斯變換真的是非常有用的，大家最好認真的學一下。

在電路中，可以把部分電路當作是一個整體系統，這個系統是線性時不變系統，系統存在輸入和輸出，傳遞函數就是輸出和輸出的比值。以一個RC低通濾波器為例：

這個濾波器的傳遞函數：

由于傳遞函數等于輸出/輸入，所以也可以把它稱作增益（G），只不過這個增益(G)的自變量是頻率。得到傳遞函數，就能繪制出相關的幅頻特性曲線和相頻特性曲線，這兩個曲線圖就是伯德圖。

2、伯德圖

在實際的電路穩定性分析中，伯德圖是十分重要的手段，所以先簡單說一下伯德圖是什么，伯德圖的中文別稱很多，有叫波德圖、波特圖，英文 Bode Plot 或 Bode Diagram。伯德圖是頻率域分析的工具，不同于我們常用的時域分析，即橫坐標是時間（t）。伯德圖應用在頻域分析上，即橫坐標是頻率（f），完整的伯德圖有兩張圖構成，一張是幅頻特性圖，表示某系統的頻率響應幅值對頻率的變化；另一張相頻特性圖，表示相位對頻率的變化，兩張圖的橫坐標都是頻率，同時以對數的形式表示，例如：1Hz、10Hz、100Hz、1kHz、10kHz、100kHz。

而縱坐標一般使用分貝來表示，單位是dB，即：20log10（Gain），20dB表示增益10，0dB標識增益1。在Tina-Ti中，可以通過仿真得到伯德圖，在分析—交流分析—交流傳輸特性，可以得到。

例如：我們搭建一個1k歐姆的電阻和一個100nF電容構成的低通電路，在輸入端放置一個電壓發生源，輸出放置電壓指針，這樣執行交流分析，我們就可以得到這個低通系統的伯德圖。

那么，這個圖代表的意義是什么呢？

先說結論，伯德圖的作用，就是直觀的看出系統的增益隨頻率變化的特性，以及相位隨頻率變化的特性。同時，伯德圖的幅頻特性曲線就是系統的增益（傳遞函數）曲線。

我們可以把上面的電阻和電容當作一個系統，VG是外部輸入的信號，這個信號的頻率種類非常多，頻率從1Hz到1MHz，但是各個頻率信號的幅度都是相同的，注意，我們不論是伯德圖還是說濾波器的截止頻率，都是默認信號都是正弦波。

但是經過了這個系統，在幅度上，有些頻率的信號完全沒有變化，有的變小了，在相位上，不同頻率之間的相位開始有了不同。我們取1.59kHz頻率的信號為例，1.59kHz的信號經過這個系統后，我們從伯德圖上可以看出，在上面的幅頻特性圖中，它的幅值變為了-3.02dB，也就是原來幅值的0.702，在下面的相頻特性圖中，它的相位較原來移動了45°。

接下來，我們來實際測量一下，將VG1設置為1.59kHz的正弦波，幅值1V，用VI來標記，輸出用Vo來標記，能夠看出，Vo相較于VI確實存在相移，而且幅度也減小了。將測量圖放大，可以看出，Vo相較于VI的幅值確實變為0.702，也存在45°的相移。

這個，就是伯德圖的作用，就是直觀的看出系統的增益隨頻率變化的特性，以及相位隨頻率變化的特性。由于幅頻特性和相頻特性是頻率域分析最重要的兩個參數，系統的表現如何、是否穩定，幾乎完全依賴于這兩個特性，所以，通過分析系統的伯德圖，就可以進行穩定性分析。

在我們使用伯德圖之前，我們還需要了解伯德圖使用過程中會出現的兩個“點”：零點和極點。這兩個點在信號與系統中出現的頻率很高，在實際的電路設計中，比較常見的是在有源濾波器的設計中。

 3、零點和極點

想要對零極點有確切的認識的話，是需要懂拉普拉斯變換的，但是，初學者在由于經驗的不足，即使大學學習過，也一時半會無法和實際的電路聯系起來，所以，接下來的零極點章節，我只會告訴大家如何計算零極點的頻率，以及在伯德圖上零極點的特征，不會涉及數學上對零極點的解釋，這樣，在后面的電路分析章節，初學者也能進行分析。

3.1極點

極點的特征：

在波特圖的幅頻特性曲線上，極點頻率fp之后增益會按 -20dB/decade或 -6db/octave斜率下降，在極點位置，增益為直流增益減去 3dB。在相頻特性曲線上，在極點頻率fP上，系統的相移已經有45°，而一個極點會給系統帶來90°的相移，相位在極點頻率的兩邊以 -45°/decade的斜率變化為 0°和 -90°。

備注：

decade（十倍頻程）——頻率按 x10 增加或按 x1/10 減小，從 10Hz 到 100 Hz 為一個 decade（十倍頻程）。

octave（倍頻程）——頻率按 x2 增加或按 x1/2 減小，從 10Hz 到 20 Hz 為一個 octave（倍頻程）

在實際的分析中，一般使用decade即10倍頻程來進行分析

計算極點的頻率：

極點頻率是使系統傳遞函數無窮大的解，以RC低通濾波器為例，系統的傳遞函數:

計算極點：

轉換一下得到極點頻率fp：

（備注：前提條件S=jw，涉及到拉普拉斯變換和傅里葉變換的轉換）

設定R=100K，C=1uF，計算得到fp=1.592Hz。

使用Tina仿真，可以看到極點的頻率是1.59Hz，增益是-3dB，相移-45°，與我們的計算符合。

3.2零點

零點的特征：

在波特圖的幅頻特性曲線上，零點頻率fp 之后增益會按+20dB/decade或+6db/octave斜率上升。在零點位置，增益為直流增益加上 3dB。在相頻特性曲線上，在零點頻率fo上，相移已經有45°，而一個極點會給系統帶來90°的相移，相位在零點頻率的兩邊以+45°/decade斜率變化為 0°與+90°。

計算零點的頻率：

零點頻率是使系統傳遞函數為0的解，普通的高通濾波器雖然有零點，但是零點頻率在0Hz，伯德圖上看不夠直觀，所以使用2只電阻搭配1個電容。

系統的傳遞函數：

這個系統存在一個零點和一個極點。

零點：

轉換一下得到零點頻率fo：

極點：

轉換一下得到極點頻率fp：

設定R1=10M，R2=100，C=100pF，計算得到零點頻率fo=159.23Hz，極點頻率fo=15.9MHz。

使用Tina仿真，可以看到極點的頻率是1.59Hz，增益是-3dB，相移-45°，與計算值相符。

好，了解了伯德圖以及零點和極點，我們就可以正式進入我們的初級電路分析了。

4、相位裕度

在解釋相位裕度之前，我們先搭建一個簡單的電路模型，下面是一個非常常見的同向放大電路，這個電路學過模擬電路的肯定都見過。

運放的輸出Vo經過R1和R2分壓后，送回到了運放的負端輸入（V-）。所以運放的負端輸入：

將R1/R2設定為F，即：

這樣，上面的同向放大電路我們就可以建立起一個模型：

得到這個放大電路的增益（傳遞函數）：

大家有沒有想過，要是Aol*F=-1會怎么樣呢？要是Aol*F=-1，上面的公式分母就為零了，從數學上公式就不成立了。

有人肯定會說，怎么可能為負數呢？Aol是正數，F也是正數，不可能呀。

需要注意的是，上面的系統增益公式自變量是頻率，首先，Aol*F是可以為1的，在模電學習的時候，很多時候把Aol當作一個非常大數，從而把他忽略，因為這時候的分析一般是用作直流分析，計算直流點，在0Hz的時候，運放的開環增益確實很大，但是運放的開環放大倍數Aol是隨著頻率的增加而不斷減小的。

以AD8542為例：

在幅頻特性曲線上，在1kHz的時候，有60dB的開環增益，在大約1MHz的時候，開環增益Aol就為0dB（增益1）了。

那么-1又是怎么一回事呢？

簡單來講就是相位產生了180°的相移，即運放的開環增益Aol為1（0dB）時，運放的輸出Vo相較于運放的輸入Vi，產生了180°的相位偏移。

這樣，電路就從負反饋變成了一個正反饋，這樣，運放的輸出就開始不斷的增大。

在實際電路中，表現就是輸入信號Vi中任何小變化（例如噪聲，小毛刺）都會導致Vo產生劇烈的震蕩。

那怎么衡量這個系統到底穩不穩定呢？判斷的指標就是相位裕度，這個詞大家肯定都聽過，但是很多人都是聽過，怎么用，不曉得，代表啥意義呢？更不明白。

先說一下結論，判定這個系統穩定的條件：

在 Aol*F= 1 (0dB) 時的頻率上，相移< +/-180°，同時該頻率上的相移量距離180°的差值≥ 45°。

這個差值就是相位裕度。

單純說文字有點難理解，先用一個簡單的示例：

用OP07來搭建一個跟隨器電路，然后判斷這個電路的穩定性。

由于F=1，所以系統增益等于

分母變成了1+Aol，這樣，我們只需要判斷運放OP07的開環增益Aol就可以了，OP07的開環增益圖可以在數據手冊中找到：

在OP07的開環增益幅頻曲線中，可以看到OP07有兩個極點，第一極點大約在2Hz，增益117dB，第二極點大約在1-2MHz，增益-15dB左右。

圖中只繪制了幅頻特性曲線，沒有相頻特性曲線，上面我們說過了，一個極點會產生90°的相移，在極點頻率處的相移是45°。根據這個特征就能夠繪制出相頻特性曲線，得到完整的伯德圖：

可以看到，OP07的開環增益為1（0dB）時，相移是大約121.5°，頻率是大約1M，距離180°的相移還有180°-121.5°=58.5°。得到：

在 Aol*F= 1 (0dB) 時的頻率（1M）上，相移是121.5°，< +/-180°。

同時該頻率（1M）上的相移量距離180°的差值為58.5°≥ 45°。

判定該系統穩定，相位裕度為58.5°。

到這里，有些朋友應該能總結出來了，只要運放的開環增益中的第2極點位于0dB線下，用作跟隨器就沒問題，有些朋友應該遇見過一些特別的運放，這類運放寫明了最小放大倍數，因此這類運放不能用作跟隨器，原因就是這類運放的第2極點位于0dB線以上。

在第一章，這里簡單介紹了一下，伯德圖，零極點，相位裕度的一些基本知識，寫的不是特別專業，但是盡量搭配例子來解釋，我在大學剛畢業的時候，也接觸相位裕度和伯德圖的概念，但是那些文章都寫得太書面話，就是一種我能看懂，但是具體怎么用也不知道，所以這個系列的文章，我都會搭配電路來實際講解，希望能夠對你的學習有一定的幫助。

當然，我是第一次寫文，肯定會有歧義和錯漏的地方，還請大家指正出來，我好進行修改。